学段

方法

求解过程

小学

阶段

三角形面积基本公式

$S_{\Delta }=\frac{1}{2}\times 底\times 高$

中学

阶段

化归与转化

添加辅助线，构造可直接求面积的、与所求三角形有关的多边形， 推导三角形面积。

坐标法

在平面直角坐标系上，找到三角形三个顶点的坐标，结合几何关系求解。

海伦公式或秦九昭三斜 求积公式

已知三角形三边为 $a,b,c$ ，则 $S_{\Delta }=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$ ， $p=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)$ 。

三角形

内切圆

如图所示，圆O为三角形ABC的内切圆，半径为r，则

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\left(AB+AC+BC\right)=\frac{1}{2}\times r\times l_{\Delta ABC}$ ，其中 $l_{\Delta ABC}$ 为三角形ABC的周长。

三角形

外接圆

如图所示，圆O为三角形ABC的外接圆，半径为R，则

$S_{\Delta ABC}=\frac{abc}{4R}=2R^2\sin A\sin B\sin C$ 。

三角函数中的正弦定理

已知三角形ABC三边为 $a,b,c$ ，则 $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B$ 。

大学

阶段

向量法

向量外积求三角形ABC的面积 $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\left|AB\times AC\right|$ 。

定积分

定积分的几何意义为被积函数与坐标轴所围图形的面积， 直接求对应函数积分即可。