参数设定

假设有n个DMU，各使用m种投入 $x_i\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$ 来生产s种产出 $\left(r=1,2,\cdots ,s\right)$ 。 ${\theta }_k$ 代表DMUk所有投入项可以等比例缩减的潜在额度；权数 $\lambda =\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right)$ 代表一个联结所有资料的多面体向量。

分式规划

Charnes, Cooper

Rhodes

$s.t.{\displaystyle \sum _{i=1}^m{V}_i{x}_{ik}}=1{\displaystyle \sum _{r=1}^s{U}_r{y}_{rj}-}{\displaystyle \sum _{i=1}^m{V}_i{x}_j}\le 0$

$u_r\ge \epsilon \ge 0,v_i\ge 0$

线性规划

Charnes, Cooper

Rhodes

$Max{h}_k={\displaystyle \sum _{r=1}^s{U}_r{y}_k}$

$s.t.{\displaystyle \sum _{i=1}^m{V}_i{x}_{ik}}=1{\displaystyle \sum _{r=1}^s{U}_r{y}_{rj}-}{\displaystyle \sum _{i=1}^m{V}_i{x}_j}\le 0$

$U_r\ge \epsilon \ge 0,V_i\ge \epsilon \ge 0$ (令 $U_r=t{u}_r{V}_i=t{v}_i$ Charnes-Cooper变换)

对偶规划

Charnes, Cooper

Rhodes

$Max\left[\theta -\epsilon \left({\widehat{e}}^T{s}^{-}+e^T{s}^{+}\right)\right]$

$s.t.{\displaystyle \sum _{j=1}^n{x}_j{y}_j+s^{-}=\theta x_{j0}{\displaystyle \sum _{j=1}^n{y}_j{\lambda }_j-s^{+}=y_{j0}}}$

${\lambda }_j\ge 0$ $j=1,2,\cdots ,n$ $s^{-}$ 为松弛变量； $$ 为剩余变量。

$\widehat{e}$ 和e分别是分量为1的m维、s维列向量；

$\epsilon$ 为非阿基米德无穷小量(比任何大于零的量都要小的量)