名称

对弧长的曲线积分(第一类)

对坐标的曲线积分(第二类)

曲线条件

曲线L是光滑的

曲线L是光滑有向的

思想方法

分割(化整为零)→近似(以不变代变)→求和(积零为整)→取极限(精确值)

记号

${\displaystyle {\int }_{L}f\left(x,y\right)\text{d}S}$

${\displaystyle {\int }_{L}P\left(x,y\right)\text{d}x+Q\left(x,y\right)\text{d}y}$

性质

线性性质、可加性、比较大小

线性性质、可加性、反向变号

计算思路

明确曲线方程

↓

化为定积分(三变一注意) $\{\begin{array}{l}积分弧段\\ 被积函数\\ 弧长元素\\ 注意下线一定小于上限\end{array}$

↓

计算定积分

明确方程方程

↓

化为定积分(三变一注意)

$\{\begin{array}{l}积分弧段\\ 被积函数\\ 弧长元素\\ 注意起点对应下限\end{array}$

↓

计算定积分

两类曲线积分关系

${\displaystyle {\int }_{L}P\left(x,y\right)\text{d}x+Q\left(x,y\right)\text{d}y}={\displaystyle {\int }_L\left(P\cos \alpha +Q\cos \beta \right)\text{d}S}$

其中 $\cos \alpha ,\cos \beta$ 是有向曲线L在点 $\left(x,y\right)$ 处的切向量的方向余弦.

格林

公式

${\displaystyle \underset{D}{\iint }\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\text{d}x\text{d}y}={\displaystyle {\oint }_{L}P\left(x,y\right)\text{d}x+Q\left(x,y\right)\text{d}y}$