名称

对面积的曲面积分(第一类)

对坐标的曲面积分(第二类)

曲面条件

曲面 $\Sigma$ 是光滑的

曲面 $\Sigma$ 是光滑有向的

思想方法

分割(化整为零)→近似(以不变代变)→求和(积零为整)→取极限(精确值)

记号

${\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }f\left(x,y,z\right)\text{d}S}$

${\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }P\left(x,y,z\right)\text{d}y\text{d}z}+{\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }Q\left(x,y,z\right)\text{d}z\text{d}x}+{\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }R\left(x,y,z\right)\text{d}x\text{d}y}$

性质

线性性质、可加性、比较大小

线性性质、可加性、反向变号

计算思路

明确曲面方程

↓

化为二重积分

$\{\begin{array}{l}一投:\Sigma \to D_{xy}\\ 二代:f\left(x,y,z\right)\to f\left[x,y,z\left(x,y\right)\right]\\ 三换:\text{d}S=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\text{d}x\text{d}y\end{array}$

↓

计算二重积分

明确曲面方程方程

↓

化为二重积分

$\{\begin{array}{l}一投:\Sigma \to D_{xy}\\ 二代:R\left(x,y,z\right)\to R\left[x,y,z\left(x,y\right)\right]\\ 三定号:\text{d}x\text{d}y=\pm \text{d}x\text{d}y\end{array}$

↓

计算二重积分

两类曲面积分关系

${\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }P\left(x,y,z\right)\text{d}y\text{d}z}+{\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }Q\left(x,y,z\right)\text{d}z\text{d}x}+{\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }R\left(x,y,z\right)\text{d}x\text{d}y}={\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }\left(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma \right)\text{d}S}$

其中 $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 是有向曲面 $\Sigma$ 在点 $\left(x,y,z\right)$ 处的法向量的方向余弦.

高斯

公式

${\displaystyle \underset{\Omega }{\iiint }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\text{d}v}={\displaystyle \underset{\Sigma }{∯}P\left(x,y,z\right)\text{d}y\text{d}z+Q\left(x,y,z\right)\text{d}z\text{d}x+R\left(x,y,z\right)\text{d}x\text{d}y}$