A教师教学案例

B教师教学案例

提出问题

师：下面请同学们观察如下几个数列，分析当 $n$ 无限增大时， $a_n$ 的变化趋势：

$\left(1\right)1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\cdots ,\frac{1}{n},\cdots$ Math_12#

$\left(3\right)\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\cdots ,\frac{1}{2^n},\cdots$ Math_14#

$\left(5\right)1,-1,1,\cdots ,{\left(-1\right)}^{n+1},\cdots$ (黑板上写出)

生：(1)递减无限趋近于0 (2)递增无限趋近于1 (3)递减无限趋近于0 (4)递增趋近于无穷大(5)趋势不定

师：从以上几个数列的变化趋势，我们可以发现随着 $n$ 的无限增大，(1)和(3)数列的项 $a_n$ 无限地趋近于常数 $a$ ；(2)和(4)数列的项 $a_n$ 无限增大；(5)数列的项 $a_n$ 趋势不定

形成概念：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 的项无限地趋近于某个常数 $a$ (即 $\left|a_n-a\right|$ 无限地接近0)，那么就说数列 $\left\{a_n\right\}$ 以 $a$ 为极限或者说 $a$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的极限。记作： $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$

师：下面观察当 $n$ 增大，数列 $1+\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n}$ 的变化趋势？(幻灯片播放展示)

生：随着 $n$ 的无限增大，数列无限地趋近于常数1。

师：那是不是所有数列都能趋于一个常数。提前在学习通上发布几个数列变化趋势的讨论，让大家在学习通上写出自己的答案。

师：通过大家发布的答案，大多数同学都能写对几个数列的变化趋势，也可以看出并不是所有的数列都能趋于固定的常数。现在有哪一位同学可以具体说说他的 想法？

生：把这些数列都看为是函数定义在正整数的点的取值，通过大致函数图像可以得到它们的变化趋势。

(老师对该同学进行了充分肯定及表扬)

师：现在我们看一下几个数列的具体变化趋势(幻灯片放映)。确实我们应该充分利用函数值的变化趋势来研究数列。(给出数列的极限概念并总结出认为并不是所有的数列都有极限)