A教师教学案例

B教师教学案例

巩固练习：

师：现在大家练习课本26页第一题的8个小题，观察其变化趋势，并求其极限。

(学生草稿本上通过画草图观察其变化趋势，教师在台下检查学生的对错)

师：同学们基本已经学会通过研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列，进而得出数列的极限。

师：请同学们思考满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=2$ 的几个数列？

生： $a_n=2$ ： $a_n=2-\frac{1}{n}$ ： $a_n=2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$

师：答案唯一吗？

生：不唯一，有无穷多大。

师：今天我们学习了数列的极限，那大家可以用所学的知识解释庄周的取之不尽及刘徽的割圆术吗？

生：可以，用的都为极限思想。

师：是的，其实极限思想可以运用到很多方面，如求一些变速运动的速度或是曲边梯形的面积。但是有时候要用辩证的思维去考虑问题，像庄周的“取之不尽”其实就忽略了物体不是无限可分的，否则会出现悖论。

(给学生讲讲相关数学悖论及第二次数学危机)

师：下面打开课本26页，找三位同学来回答第一题的(1) (5) (8)小题的三个数列的变化趋势，以及极限是否存在？

生1：数列 $\left\{\frac{1}{2^n}\right\}$ 通过指数函数 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 的变化趋势，可以发现取值无限增大时，函数值无限逼近于0。

师：很好，在求数列一些数列极限时，要学会利用函数值的变化趋势来研究数列。

生2：数列 $\left\{{\left(-1\right)}^n\frac{1}{2}\right\}$ 随着 $n$ 的无限增大，取值在 $\frac{1}{2}$ 和 $-\frac{1}{2}$ 间来回摆动。

师：这是一个摆动数列，立场不坚定，因此极限是不存在的。所以，在以后的人生中，我们要树立目标，立场坚定，这样才能有所为。

生3：数列 $\left\{n{\left(-1\right)}^n\right\}$ 当取偶数无限递增时，会无限增大到正无穷大，当取奇数无限递增时，会无限减小到负无穷大，极限应该不存在。

(教师点评与讲解，归纳数列三种变化趋势：趋于固定常数、趋于无穷大、振荡)

师：最后我们看这样一个实际问题。设某人本金为 $A$ 元，银行存款年利率为 $r,$ 如果不考虑个人利息税，则此人 $n$ 年末的本利和数列该如何建立，极限为多少？