特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的两个根 $r_1,r_2$

微分方程 $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$ 的通解

两个不相等的实根 $r_1,r_2$

$y=C_1{\text{e}}^{r_{1}x}+C_2{\text{e}}^{r_{2}x}$

两个相等的实根 $r_1=r_2$

$y=\left(C_1+C_{2}x\right){\text{e}}^{r_{1}x}$

一对共轭复根 $r_{1,2}=\alpha \pm \beta i$

$y={\text{e}}^{\alpha x}\left(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x\right)$