A. 初始化

1) 若方程为非齐次，按照方程(4)和(5)将外载荷函数转化为变量，形成相应的齐次方程的质量矩阵 $\tilde{M}$ ，阻尼矩阵 $\tilde{C}$ 和刚度矩阵 $\tilde{K}$ ；

2) 给出初始位移和速度

$z_{0} = {[\begin{matrix} {\tilde{x}}_{0}^{T} & {\dot{\tilde{x}}}_{0}^{T} \end{matrix}]}^{T}$ ；

3) 选取合适的步长h和分步数N (N = 2^m)，并计算分步长 $h_{N} = h / 2^{m}$ 以及常量矩阵

$A_{1} = {\tilde{M}}^{- 1} \tilde{K}, A_{2} = {\tilde{M}}^{- 1} \tilde{C}, A_{3} = {(\tilde{M} + \frac{h_{N}}{2} \tilde{C} + \frac{h_{N}^{2}}{12} \tilde{K})}^{- 1} \tilde{M}$ ；

4) 计算增量矩阵

$S (h_{N}) = h_{N} [\begin{matrix} - \frac{h_{N}}{2} A_{1} + \frac{h_{N}^{2}}{12} A_{3} (A_{2} A_{1} + \frac{h_{N}}{2} A_{1}^{2}) & I - \frac{h_{N}}{2} A_{2} - \frac{h_{N}^{2}}{12} A_{3} (A_{1} - A_{2}^{2} - \frac{h_{N}}{2} A_{1} A_{2}) \\ - A_{1} + \frac{h_{N}}{2} A_{3} (A_{2} A_{1} + \frac{h_{N}}{2} A_{1}^{2}) & - A_{2} - \frac{h_{N}}{2} A_{3} (A_{1} - A_{2}^{2} - \frac{h_{N}}{2} A_{1} A_{2}) \end{matrix}]$ ；

5) 更新增量矩阵

$for (i = 0; i < m; i + +) S (h_{N}) = 2 S (h_{N}) + S (h_{N}) \times S (h_{N})$ ；

6) 计算高精度Jacobi矩阵A_H

$A_{H} (h) = I + S (h_{N})$ _。

B. 递推过程

1) 计算第k + 1步的位移和速度

$z_{k + 1} = A_{H} (h) z_{k}, z_{k} = [\begin{matrix} {\tilde{x}}_{k} & {\dot{\tilde{x}}}_{k} \end{matrix}]$ ；

2) 计算第k + 1步的加速度

${\ddot{\tilde{x}}}_{k + 1} = - A_{1} {\tilde{x}}_{k + 1} - A_{2} {\dot{\tilde{x}}}_{k + 1}$ .