平面直角坐标系

复平面

1. 直线的点斜式方程

已知直线上一点 $P_0\left(x_0,y_0\right)$ 和直线的斜率k，则直线的方程为 $y-y_0=k\left(x-x_0\right)$ 。

(不能表示垂直于x轴的直线)

已知直线上一点 $z_0=x_0+i{y}_0$ ，且斜率为k，则直线方程为 $\alpha \left(z-z_0\right)=\overline{\alpha \left(z-z_0\right)}$ (其中 $\alpha =1-ki$ )或 $\alpha \left(z-z_0\right)=t\left(t\in R\right)$ 。(不能表示垂直于实轴的直线)

2. 直线的斜截式方程

已知直线的斜率为k，截距为b，则该直线的方程为 $y=kx+b$ 。 (不能表示垂直x轴的直线)

已知直线过点 $z_0=ib$ (在虚轴截距为b)且斜率为k，则该直线的方程为: $\alpha z-\overline{\alpha z}-2\beta =0$ 。(其中 $\alpha =1-ki,\beta =bi$ ) (不能表示垂直实轴的直线)

3. 直线的两点式方程

已知直线上两点 $\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right)$ ，则该直线的方程为 $\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\left(x_1\ne x_2,y_1\ne y_2\right)$ 。(不能表示垂直x轴和垂直y轴的直线)

已知直线上两点 $z_1=x_1+i{y}_1,z_2=x_2+i{y}_2$ ，则该直线的方程为 $\frac{z-z_1}{\overline{z}-{\overline{z}}_1}=\frac{z_2-z_1}{{\overline{z}}_2-{\overline{z}}_1}$ 。(其中 $z_1-z_2=a+bi\ne 0$ ，即 $z_1,z_2$ 实部，虚部都不相等) (不能表示垂直虚轴和垂直实轴的直线)

4. 直线的一般方程

$Ax+By+C=0\left(A^2+B^2\ne 0\right)$

$\alpha z+\overline{\alpha }\overline{z}+C=0\left(\alpha \in ℂ\backslash \left\{0\right\},C\in R\right)$

(其中 $\alpha =\frac{1}{2}\left(A-iB\right)$ )

5. 直线的截距式方程

已知直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则该直线的方程为 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ ( $a\ne 0$ 且 $b\ne 0$ )。(不能表示垂直于x轴的直线和垂直于y轴的直线，不能表示过原点的直线)

已知直线在实轴的截距是a (即直线过点 $z_0=a$ )，在虚轴截距为b (即直线过点 $z_1=ib$ ) ( $a\ne 0$ 且 $b\ne 0$ )，则该直线的方程为 $\frac{z+\overline{z}}{z_0}+\frac{z-\overline{z}}{z_1}=2$ ( $z_0\ne 0,z_1\ne 0$ ) (不能表示垂直于实轴的直线和垂直于虚轴的直线，不能表示过原点的直线)

6.两条直线的位置关系

判别(一)

(一) 已知两条直线的方程为

$l_1:A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$

$l_2:A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$

已知两条直线的方程为

$l_1:{\alpha }_{1}z+{\overline{\alpha }}_1\overline{z}+C_1=0\left({\alpha }_1\in ℂ\backslash \left\{0\right\},C_1\in R\right)$ (其中 $\alpha =\frac{1}{2}\left(A_1-i{B}_1\right)$ )

$l_2:{\alpha }_{2}z+{\overline{\alpha }}_2\overline{z}+C_2=0\left({\alpha }_2\in ℂ\backslash \left\{0\right\},C_2\in R\right)$ (其中 $\alpha =\frac{1}{2}\left(A_2-i{B}_2\right)$ )

(1) $l_1$ 与 $l_2$ 相交

(1) $l_1$ 与 $l_2$ 相交 $\iff A_1{B}_2-A_2{B}_1\ne 0$ 或 $\frac{A_1}{A_2}\ne \frac{B_1}{B_2}$ ( $A_2{B}_2\ne 0$ )

(1) $l_1$ 与 $l_2$ 相交 $\iff {\alpha }_1\ne t{\alpha }_2$ ( $t\in R$ 且 $t\ne 0$ )或 $\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_2}\ne t$ ( $t\in R,t\ne 0$ ) ( ${\alpha }_2\ne 0$ )

(2) $l_1$ 与 $l_2$ 平行

(2) $l_1$ 与 $l_2$ 平行

$\iff A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$ 且 $B_1{C}_2-B_2{C}_1\ne 0$ 或 $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\ne \frac{C_1}{C_2}$ ( $A_2{B}_2{C}_2\ne 0$ )

(2) $l_1$ 与 $l_2$ 平行 $\iff \frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_2}=t\ne \frac{C_1}{C_2}$ ( $t\in R$ 且 $t\ne 0,{\alpha }_2\ne 0,C_2\ne 0$ )或 $\frac{{\alpha }_1}{\overline{{\alpha }_1}}=\frac{{\alpha }_2}{\overline{{\alpha }_2}}\ne \frac{C_1}{C_2}$ ( ${\alpha }_1\ne 0,{\alpha }_2\ne 0,C_2\ne 0$ )

(3) $l_1$ 与 $l_2$ 重合

(3) $l_1$ 与 $l_2$ 重合

$\iff A_1=k{A}_2,B_1=k{B}_2,C_1=k{C}_2\left(k\ne 0\right)$ 或 $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$ ( $A_2{B}_2{C}_2\ne 0$ )

(3) $l_1$ 与 $l_2$ 重合 $\iff \frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_2}=t=\frac{C_1}{C_2}$ ( $t\in R$ 且 $t\ne 0,{\alpha }_2\ne 0,C_2\ne 0$ )

(4) $l_1$ 与 $l_2$ 垂直

(4) $l_1\perp l_2\iff A_1{A}_2+B_1{B}_2=0$

(4) $l_1\perp l_2\iff {\alpha }_1\overline{{\alpha }_2}+\overline{{\alpha }_1}{\alpha }_2=0$

7.两条直线的位置关系

判别(二)

(二) 已知两条直线的方程为

$l_1:y=k_{1}x+b_1$

$l_2:y=k_{2}x+b_2$

已知两条直线的方程为 $l_1:{\alpha }_{1}z-\overline{{\alpha }_{1}z}-2{\beta }_1=0\left(\alpha =1-k_{1}i,\beta =i{b}_1\right)$

$l_2:{\alpha }_{2}z-\overline{{\alpha }_{2}z}-2{\beta }_2=0\left(\alpha =1-k_{2}i,\beta =i{b}_2\right)$

(1) $l_1$ 与 $l_2$ 相交

(1) $l_1$ 与 $l_2$ 相交 $\iff k_1\ne k_2$

(1) $l_1$ 与 $l_2$ 相交 $\iff {\alpha }_1\ne {\alpha }_2$

(2) $l_1$ 与 $l_2$ 平行

(2) $l_1$ 与 $l_2$ 平行 $\iff k_1=k_2$ 且 $b_1\ne b_2$

(2) $l_1$ 与 $l_2$ 平行 $\iff {\alpha }_1={\alpha }_2$ 且 ${\beta }_1\ne {\beta }_2$

(3) $l_1$ 与 $l_2$ 重合

(3) $l_1$ 与 $l_2$ 重合 $\iff k_1=k_2$ 且 $b_1=b_2$

(3) $l_1$ 与 $l_2$ 重合 $\iff {\alpha }_1={\alpha }_2$ 且 ${\beta }_1={\beta }_2$

(4) $l_1$ 与 $l_2$ 垂直

(4) $l_1\perp l_2\iff k_1{k}_2=-1$

(4) $l_1\perp l_2\iff \left({\alpha }_1-\overline{{\alpha }_1}\right)\left({\alpha }_2-\overline{{\alpha }_2}\right)=4$

8. 常见的直线系方程

(1) 与一条直线垂直的直线系方程

已知直线 $l:Ax+By+C=0$ ，则与l垂直的直线系方程为 $Bx-Ay+n=0$ (n为参数)。

已知直线 $l:\alpha z+\overline{\alpha z}+C=0$ ，则与l垂直的直线系方程为 $i\alpha z-i\overline{\alpha z}+n=0$ (n为参数) ( $\alpha \in ℂ\backslash \left\{0\right\},\alpha =\frac{1}{2}\left(A-iB\right),n\in ℝ$ )。

(2) 经过两条直线交点的直线系方程

经过两条直线 $l_1:A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$ 和 $l_2:A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$ 的交点的直线系方程为 $A_{1}x+B_{1}y+C_1+\lambda \left(A_{2}x+B_{2}y+C_2\right)=0$ (其中 $A_1,B_1,C_1,A_2,B_2,C_2$ 是常数) (直线系不包括 $l_2:A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$ ，需要单独验证)。

经过两条直线 $l_1:{\alpha }_{1}z+\overline{{\alpha }_{1}z}+C_1=0$ 和 $l_2:{\alpha }_{2}z+\overline{{\alpha }_{2}z}+C_2=0$ 的交点的直线系方程为 ${\alpha }_{1}z+\overline{{\alpha }_{1}z}+C_1+\lambda \left({\alpha }_{2}z+\overline{{\alpha }_{2}z}+C_2\right)=0$ ( ${\alpha }_k\in ℂ\backslash \left\{0\right\},{\alpha }_k=\frac{1}{2}\left(A_k-i{B}_k\right),k=1,2$ ) ( $C_1,C_2$ 是常数) (直线系不包括 $l_2:{\alpha }_{2}z+\overline{{\alpha }_{2}z}+C_2=0$ ，需要单独验证)。

9. 点到直线距离公式

平面上任一点 $P\left(x_1,y_1\right)$ 到直线 $l:Ax+By+C=0\left(A^2+B^2\ne 0\right)$ 的距离 $d=\frac{\left|A{x}_1+B{y}_1+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 。

平面上任一点 $z_1=x_1+i{y}_1$ 到直线 $\alpha z+\overline{\alpha }\overline{z}+C=0\left(\alpha \in ℂ\backslash \left\{0\right\},C\in R\right)$

(其中 $\alpha =\frac{1}{2}\left(A-iB\right)$ )的距离 $d=\frac{\alpha z_1+\overline{\alpha z_1}+C}{2\left|\alpha \right|}$ 。

10. 两条平行直线间的距离

一般地，已知两条平行直线

$l_1:Ax+By+C_1=0,l_2:Ax+By+C_2=0\left(C_1\ne C_2\right)$ ，则这两条平行直线之间的距离为 $d=\frac{\left|C_1-C_2\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 。

一般地，已知两条平行直线 $l_1:\alpha z+\overline{\alpha z}+C_1=0,l_2:\alpha z+\overline{\alpha z}+C_2=0\left(C_1\ne C_2\right)$ ，则这两条平行直线之间的距离为 $d=\frac{\left|C_1-C_2\right|}{2\left|\alpha \right|}$ 。