平面直角坐标系

复平面

1. 圆的标准方程

以 $C\left(a,b\right)$ 为圆心，r为半径的圆的方程为： ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=r^2\left(r>0\right)$ 。

以 $z_0=a+ib$ 为圆心，r为半径的圆的方程为： $\left(z-z_0\right)\left(\overline{z-z_0}\right)=r^2\left(r>0\right)$ (即 $\left|z-z_0\right|=r\left(r>0\right)$ )。

2. 点与圆的位置关系(根据点的坐标与圆的方程的关系判断)

根据点 $M\left(x_0,y_0\right)$ 的坐标与圆的方程 ${\left(x-a\right)}^2+{\left(x-b\right)}^2=r^2$ 的关系判断：

(1) ${\left(x_0-a\right)}^2+{\left(x_0-b\right)}^2>r^2\iff$ 点在圆外；

(2) ${\left(x_0-a\right)}^2+{\left(x_0-b\right)}^2=r^2\iff$ 点在圆上；

(3) ${\left(x_0-a\right)}^2+{\left(x_0-b\right)}^2<r^2\iff$ 点在圆内。

根据点 $z_1=x_1+i{y}_1$ 的坐标与圆的方程 $\left(z-z_0\right)\left(\overline{z-z_0}\right)=r^2\left(\left|z-z_0\right|=r\right)$ 的关系判断：

$\left(z-z_0\right)\left(\overline{z-z_0}\right)>r^2\left(\left|z_1-z_0\right|>r\right)\iff$ 点在圆外；

$\left(z-z_0\right)\left(\overline{z-z_0}\right)=r^2\left(\left|z_1-z_0\right|=r\right)\iff$ 点在圆上；

$\left(z-z_0\right)\left(\overline{z-z_0}\right)<r^2\left(\left|z_1-z_0\right|<r\right)\iff$ 点在圆内。

3. 圆的一般方程

$A\left(x^2+y^2\right)+Bx+Dy+C=0\left(B^2+D^2>4AC\right)$

$Az\overline{z}+\alpha z+\overline{\alpha z}+C=0\left(A\ne 0,{\left|\alpha \right|}^2>AC\right)$

4. 直线于圆的位置关系

(一) 代数判别法

已知直线方程 $Ax+By+C=0$ ，圆的方程 ${\left(x-a\right)}^2+{\left(x-b\right)}^2=r^2$

联立两个方程，消元后得一元二次方程，计算判别式 $\Delta$ ：

$\Delta >0\iff$ 直线与圆相交；

$\Delta =0\iff$ 直线与圆相切；

$\Delta <0\iff$ 直线与圆相离。

无法用判别式判别，方程在复数域上都有解。

(2) 几何法

已知圆心 $M\left(a,b\right)$ 到直线 $l:Ax+By+C=0\left(A^2+B^2\ne 0\right)$ 的距离 $d=\frac{\left|Aa+Bb+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

(1) $d>r\iff$ 直线与圆相离；

(2) $d=r\iff$ 直线与圆相切；

(3) $d<r\iff$ 直线与圆相交。

已知圆心 $z_0=a+ib$ 到直线到直线 $\alpha z+\overline{\alpha }\overline{z}+C=0\left(\alpha \in ℂ\backslash \left\{0\right\},C\in R\right)$

(其中 $\alpha =\frac{1}{2}\left(A-iB\right)$ )的距离 $d=\frac{\alpha z_0+\overline{\alpha z_0}+C}{2\left|\alpha \right|}$

(1) $d>r\iff$ 直线与圆相交；

(2) $d=r\iff$ 直线与圆相切；

(3) $d<r\iff$ 直线与圆相离。

5. 圆的切线问题

(1) 经过圆 ${\left(x-a\right)}^2+{\left(x-b\right)}^2=r^2$ 上一点 $P\left(x_0,y_0\right)$ 的切线方程为 $\left(x_0-a\right)\left(x-a\right)+\left(y_0-b\right)\left(y-b\right)=r^2$ 。

(2) 经过圆 $A\left(x^2+y^2\right)+Bx+Dy+C=0$ 上一点 $P\left(x_0,y_0\right)$ 的切线方程为： $A\left(x_{0}x+y_{0}y\right)+B\frac{x+x_0}{2}+D\frac{y+y_0}{2}+C=0$ 。

(1) 经过圆 $\left(z-z_0\right)\left(\overline{z-z_0}\right)=r^2$ 上一点 $z_1=x_1+y_1$ 的切线方程： $\left(z_1-z_0\right)\left(\overline{z-z_0}\right)+\left(\overline{z_1-z_0}\right)\left(z-z_0\right)=2r^2$ 。

(2) 经过圆 $A\overline{z}+\alpha z+\overline{\alpha z}+C=0\left(A\ne 0,{\left|\alpha \right|}^2>AC,\alpha =\frac{1}{2}\left(B-iD\right)\right)$ 上一点 $z_0=x_0+i{y}_0$ 的切线方程为： $\begin{array}{l}A\left(z_0\overline{z}+\overline{z_0}z\right)+\alpha \left(z_0+z\right)+\overline{\alpha \left(z_0+z\right)}+2C=0\\ \left(A\ne 0,{\left|\alpha \right|}^2>AC,\alpha =\frac{1}{2}\left(B-iD\right)\right)\end{array}$ 。

6. 弦长公式

直线 $l:y=kx+b$ 与圆交于 $A\left(x_1,y_1\right),B\left(x_2,y_2\right)$ 两点，则弦长 $\left|AB\right|=\sqrt{1+k^2}\left|x_1-x_2\right|$ 。

直线 $l:\alpha z-\overline{\alpha }\overline{z}-2\beta =0$ 。 (其中 $\alpha =1-ki,\beta =bi$ )与圆交于 $z_1=x_1+i{y}_1,z_2=x_2+i{y}_2$ 两点，则弦长 $\left|z_1{z}_2\right|=\left|\alpha \right|\left|\frac{\left(z_1-z_2\right)+\overline{z_1-z_2}}{2}\right|$ 。

7. 圆与圆的位置关系

设两个圆的半径分别为r，R，圆心之间的距离为d

(1) $d>r+R\iff$ 圆与圆外离；

(2) $d=r+R\iff$ 圆与圆外切；

(3) $\left|R-r\right|<d<R+r\iff$ 圆与圆相交；

(4) $d=\left|R-r\right|\iff$ 圆与圆内切；

(5) $0\le d<\left|R-r\right|\iff$ 圆与圆内含。

8. 公共线方程

设两个圆为 $A_1\left(x^2+y^2\right)+B_{1}x+D_{1}y+C_1=0\left(B_1^2+D_1^2>4A_1{C}_1\right)$ ， $A_2\left(x^2+y^2\right)+B_{2}x+D_{2}y+C_2=0\left(B_2^2+D_2^2>4A_2{C}_2\right)$

则这两个圆的公共弦方程为 $\left(B_1-B_2\right)x+\left(D_1-D_2\right)y+\left(C_1-C_2\right)=0$ 。

设两个圆为 $A_{1}z\overline{z}+{\alpha }_{1}z+\overline{{\alpha }_{1}z}+C_1=0\left(A_1\ne 0,{\left|{\alpha }_1\right|}^2>A_1{C}_1\right)$ ， $A_{2}z\overline{z}+{\alpha }_{2}z+\overline{{\alpha }_{2}z}+C_2=0\left(A_2\ne 0,{\left|{\alpha }_2\right|}^2>A_2{C}_2\right)$

则这两个圆的公共弦方程为 $\left({\alpha }_1-{\alpha }_2\right)z+\overline{\left({\alpha }_1-{\alpha }_2\right)z}+\left(C_1-C_2\right)=0$ 。

9. 圆系方程

过两个已知圆 $A_1\left(x^2+y^2\right)+B_{1}x+D_{1}y+C_1=0\left(B_1^2+D_1^2>4A_1{C}_1\right)$ ， $A_2\left(x^2+y^2\right)+B_{2}x+D_{2}y+C_2=0\left(B_2^2+D_2^2>4A_2{C}_2\right)$ 的交点的圆系方程：

$\begin{array}{l}{A}_1\left(x^2+y^2\right)+B_{1}x+D_{1}y+C_1\\ +\lambda \left(A_2\left(x^2+y^2\right)+B_{2}x+D_{2}y+C_2\right)=0\\ \left(B_k^2+D_k^2>4A_k{C}_k,k=1,2,\lambda \ne -1\right)\end{array}$

$\lambda =-1$ 时，表示过两个圆交点的直线(两个圆同心则直线不存在)：

1) 当两个圆相交时，为公共线所在的直线

2) 当两个圆相切时，为公切线

3) 当两个圆相离时，此直线为两个圆连心线垂直的直线

4) 过直线与圆的交点的圆系方程：

$\begin{array}{l}{A}_1\left(x^2+y^2\right)+B_{1}x+D_{1}y+C_1+\lambda \left(A_{2}x+B_{2}y+C_2\right)=0\\ \left(B_1^2+D_1^2>4A_1{C}_1,A_1^2+B_1^2\ne 0\right)\end{array}$

过两个已知圆 $A_{1}z\overline{z}+{\alpha }_{1}z+\overline{{\alpha }_{1}z}+C_1=0\left(A_1\ne 0,{\left|{\alpha }_1\right|}^2>A_1{C}_1\right)$ ， $A_{2}z\overline{z}+{\alpha }_{2}z+\overline{{\alpha }_{2}z}+C_2=0\left(A_2\ne 0,{\left|{\alpha }_2\right|}^2>A_2{C}_2\right)$ 的交点的圆系方程：

$\begin{array}{l}{A}_{1}z\overline{z}+{\alpha }_{1}z+\overline{{\alpha }_{1}z}+C_1+\lambda \left(A_{2}z\overline{z}+{\alpha }_{2}z+\overline{{\alpha }_{2}z}+C_2\right)=0\\ \left(A_k\ne 0,{\left|{\alpha }_k\right|}^2>A_k{C}_k,\lambda \ne -1\right)\end{array}$

$\lambda =-1$ 时，表示过两个圆交点的直线(两个圆同心则直线不存在)：

1) 当两个圆相交时，为公共线所在的直线

2) 当两个圆相切时，为公切线

3) 当两个圆相离时，此直线为两个圆连心线垂直的直线

4) 过直线与圆的交点的圆系方程：

$\begin{array}{l}{A}_{1}z\overline{z}+{\alpha }_{1}z+\overline{{\alpha }_{1}z}+C_1+\lambda \left({\alpha }_{2}z+\overline{{\alpha }_{2}z}+C_2\right)=0\\ \left(A_1\ne 0,{\left|{\alpha }_1\right|}^2>A_1{C}_1\right)\end{array}$

$\left({\alpha }_2\in ℂ\backslash \left\{0\right\},{\alpha }_2=\frac{1}{2}\left(A_2-i{B}_2\right)\right)$