平面直角坐标系

复平面

一. 椭圆

1. 椭圆的方程(以原点为中心)

A. 椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ (焦点在x轴上)

B. 椭圆的标准方程为 $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ (焦点在y轴上)

根据椭圆的几何意义：

A. 设焦点在实轴上为 $F_{1} = c, F_{2} = - c$ ，2a为椭圆的长轴长度，则椭圆的方程为 $| z - c | + | z + c | = 2 a$ (焦点在实轴上)

B. 设焦点在虚轴上为 $F_{1} = i c, F_{2} = - i c$ ，2a为椭圆的长轴长度，则椭圆的方程为 $| z - i c | + | z + i c | = 2 a$ (焦点在虚轴上)

根据椭圆的标准方程：

A. $2 A z \bar{z} - B (z^{2} + {\bar{z}}^{2}) = A^{2} - B^{2} (A > B > 0)$ (焦点在实轴上)

B. $2 A z \bar{z} + B (z^{2} + {\bar{z}}^{2}) = A^{2} - B^{2} (A > B > 0)$ (焦点在虚轴上)

2. 直线与椭圆的位置关系

设直线为： $y = k x + m$ 椭圆为： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

(1) 直线与椭圆相交 $\Leftrightarrow b^{2} + a^{2} k^{2} - m^{2} > 0$ ；

(2) 直线与椭圆相切 $\Leftrightarrow b^{2} + a^{2} k^{2} - m^{2} = 0$ ；

(3) 直线与椭圆相离 $\Leftrightarrow b^{2} + a^{2} k^{2} - m^{2} < 0$ 。

设直线为： $α z - \bar{α} \bar{z} - 2 β = 0 (α = 1 - k i, β = m i)$ 椭圆为： $2 A z \bar{z} - B (z^{2} + {\bar{z}}^{2}) = A^{2} - B^{2} (A = a^{2} + b^{2}, B = a^{2} - b^{2})$

（1）直线与椭圆相交 $\Leftrightarrow 2 β^{2} - α (α - 2) (A + B) - 2 B > 0$ ；

(2) 直线与椭圆相切 $\Leftrightarrow 2 β^{2} - α (α - 2) (A + B) - 2 B > 0$ ；

(3) 直线与椭圆相离 $\Leftrightarrow 2 β^{2} - α (α - 2) (A + B) - 2 B < 0$ 。

3. 直线与椭圆相交弦长

设直线 $y = k x + m$ 与椭圆的交点为 $P_{1} = (x_{1}, y_{1}), P_{2} = (x_{2}, y_{2})$ 两点，则弦长为

$| P_{1} P_{2} | = | x_{1} - x_{2} | \sqrt{1 + k^{2}} = | y_{1} - y_{2} | \sqrt{1 + \frac{1}{k^{2}}}$ 。

设直线 $α z - \bar{α} \bar{z} - 2 β = 0 (α = 1 - k i, β = m i)$ 与椭圆的交点为 $z_{1} = x_{1} + i y_{1}, z_{2} = x_{2} + i y_{2}$ 两点，则弦长 $| z_{1} z_{2} | = | α | | \frac{(z_{1} - z_{2}) + \bar{z_{1} - z_{2}}}{2} |$ 。

4. 中点弦

(1) 中点弦的斜率

AB是弦，AB的中点为 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ ，则中点弦的斜率为

$k_{A B} = - \frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{x_{0}}{y_{0}}$

$k_{A B} \cdot k_{O P} = - \frac{b^{2}}{a^{2}}$

(2) 中点弦所在直线方程

若 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 内，被 $P_{0}$ 所平分的中点弦方程为

$\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}$ 。

(1) 中点弦的斜率

AB是弦，AB的中点为 $z_{0} = x_{0} + i y_{0}$ ，则中点弦的斜率为

$k = \frac{(A - B) (z_{0} + {\bar{z}}_{0})}{i (A + B) (z_{0} - {\bar{z}}_{0})}$

$k_{A B} \cdot k_{O P} = - \frac{A - B}{A + B}$

(2) 中点弦所在直线方程

若 $z_{0} = x_{0} + i y_{0}$ 在椭圆 $2 A z \bar{z} - B (z^{2} + {\bar{z}}^{2}) = A^{2} - B^{2} (A = a^{2} + b^{2}, B = a^{2} - b^{2})$ 内，则被 $z_{0}$ 所平分的中点弦方程为

$\frac{(z_{0} + {\bar{z}}_{0}) (z + \bar{z} - z_{0} - {\bar{z}}_{0})}{A + B} = \frac{(z_{0} - {\bar{z}}_{0}) (z - \bar{z} - z_{0} + {\bar{z}}_{0})}{A - B}$ 。

5. 过椭圆上一点的切线方程

若 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上，则过 $P_{0}$ 的椭圆切线方程为

$\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ 。

若过点 $z_{0}$ ，且 $z_{0}$ 在椭圆 $2 A z \bar{z} - B (z^{2} + {\bar{z}}^{2}) = A^{2} - B^{2} (A = a^{2} + b^{2}, B = a^{2} - b^{2})$ 上，则过 $z_{0}$ 的椭圆切线方程为

$\frac{(z_{0} + {\bar{z}}_{0}) (z + \bar{z})}{2 (A + B)} - \frac{(z_{0} - {\bar{z}}_{0}) (z - \bar{z})}{2 (A - B)} = 1$ 。

6. 过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点弦所在的直线方程

若 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 外，过 $P_{0}$ 作椭圆的两条切线，切点为 $P_{1}, P_{2}$ ，则切点弦 $P_{1} P_{2}$ 的直线方程为

$\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ 。

若 $z_{0}$ 在椭圆 $2 A z \bar{z} - B (z^{2} + {\bar{z}}^{2}) = A^{2} - B^{2} (A = a^{2} + b^{2}, B = a^{2} - b^{2})$ 外，过 $z_{0}$ 作椭圆的两条切线，切点为 $z_{1}, z_{2}$ ，则切点弦所在直线方程为

$\frac{(z_{0} + {\bar{z}}_{0}) (z + \bar{z})}{2 (A + B)} - \frac{(z_{0} - {\bar{z}}_{0}) (z - \bar{z})}{2 (A - B)} = 1$ 。

7. 过椭圆内定点的弦中点的轨迹方程

若 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 内，则过 $P_{0}$ 的弦中点的轨迹方程为

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{x x_{0}}{a^{2}} + \frac{y y_{0}}{b^{2}}$ 。

若 $z_{0}$ 在椭圆 $2 A z \bar{z} - B (z^{2} + {\bar{z}}^{2}) = A^{2} - B^{2} (A = a^{2} + b^{2}, B = a^{2} - b^{2})$ 内，则过 $z_{0}$ 的弦中点的轨迹方程为

$\frac{(z + \bar{z}) (z_{0} + {\bar{z}}_{0} - z - \bar{z})}{A + B} = \frac{(z - \bar{z}) (z_{0} - {\bar{z}}_{0} - z + \bar{z})}{A - B}$ 。

二. 双曲线

1. 双曲线的方程(以原点为中心)

A. 双曲线的标准方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ (焦点在x轴上)

B. 双曲线的标准方程为 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ (焦点在y轴上)

根据双曲线的几何意义：

A. 设焦点在实轴上为 $F_{1} = c, F_{2} = - c$ ，2a为双曲线的实轴长度，则双曲线的方程为 $| | z - c | - | z + c | | = 2 a$ (焦点在实轴上)

B. 设焦点在虚轴上为 $F_{1} = i c, F_{2} = - i c$ ，2a为双曲线的实轴长度，则双曲线的方程为 $| | z - i c | - | z + i c | | = 2 a$ (焦点在虚轴上)

根据双曲线的标准方程：

A. $A (z^{2} + {\bar{z}}^{2}) - 2 B z \bar{z} = A^{2} - B^{2} (A > B, A > 0)$ (焦点在实轴上)

B. $- A (z^{2} + {\bar{z}}^{2}) - 2 B z \bar{z} = A^{2} - B^{2} (A > B, A > 0)$ (焦点在虚轴上)

2. 直线与双曲线的位置关系

设直线为： $y = k x + m$ 双曲线为： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$

(1) 直线与双曲线相交 $\Leftrightarrow b^{2} - a^{2} k^{2} + m^{2} > 0$ ；

(2) 直线与双曲线相切 $\Leftrightarrow b^{2} - a^{2} k^{2} + m^{2} = 0$ ；

(3) 直线与双曲线相离 $\Leftrightarrow b^{2} - a^{2} k^{2} + m^{2} < 0$ 。

设直线为： $α z - \bar{α} \bar{z} - 2 β = 0 (α = 1 - k i, β = m i)$ 双曲线为： $A (z^{2} + {\bar{z}}^{2}) - 2 B z \bar{z} = A^{2} - B^{2} (A = a^{2} + b^{2}, B = a^{2} - b^{2})$

(1) 直线与双曲线相交 $\Leftrightarrow α (α - 2) (A + B) - 2 β^{2} + 2 A > 0$ ；

(2) 直线与双曲线相切 $\Leftrightarrow α (α - 2) (A + B) - 2 β^{2} + 2 A = 0$ ；

(3) 直线与双曲线相离 $\Leftrightarrow α (α - 2) (A + B) - 2 β^{2} + 2 A < 0$ 。

3. 直线与双曲线相交弦长

设直线 $y = k x + m$ 与双曲线的交点为 $P_{1} = (x_{1}, y_{1}), P_{2} = (x_{2}, y_{2})$ 两点，则弦长为

$| P_{1} P_{2} | = | x_{1} - x_{2} | \sqrt{1 + k^{2}} = | y_{1} - y_{2} | \sqrt{1 + \frac{1}{k^{2}}}$ 。

设直线 $α z - \bar{α} \bar{z} - 2 β = 0 (α = 1 - k i, β = m i)$ 与双曲线的交点为 $z_{1} = x_{1} + i y_{1}, z_{2} = x_{2} + i y_{2}$ 两点，则弦长 $| z_{1} z_{2} | = | α | | \frac{(z_{1} - z_{2}) + \bar{z_{1} - z_{2}}}{2} |$ 。

4. 中点弦斜率公式

AB是弦，中点为 $P (x_{0}, y_{0})$ ，则中点弦的斜率为 $k_{A B} = \frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{x_{0}}{y_{0}}$ 。

中点弦AB是弦，中点为 $z_{0} = x_{0} + i y_{0}$

$k = \frac{(A - B) (z_{0} + \bar{z_{0}}) i}{(A + B) (z_{0} - \bar{z_{0}})}$ 。

5. 直线与双曲线相交交点问题

设直线 $y = k x + m$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$

设直线为： $α z - \bar{α} \bar{z} - 2 β = 0 (α = i - k i, β = m i)$ 双曲线为： $A (z^{2} + {\bar{z}}^{2}) - 2 B z \bar{z} = A^{2} - B^{2} (A = a^{2} + b^{2}, B = a^{2} - b^{2})$

(1) 无交点

(1) $y = \pm \frac{a}{b} x$

(2) $x = 0$

(1) $z - \bar{z} = \pm \sqrt{\frac{A + B}{A - B}} (z + \bar{z}) i$

(2) $z + \bar{z} = 0$

(2) 一个交点

1. $y = \frac{a}{b} x + m$ ( $m \neq 0$ )

$m > 0$ 交左支

$m < 0$ 交右支

2. $y = - \frac{a}{b} x + m$ ( $m \neq 0$ )

$m > 0$ 交右支

$m < 0$ 交左支

3. $x = \pm a$

4. $b^{2} + m^{2} - a^{2} k^{2} = 0$

1. $α = 1 - \sqrt{\frac{A + B}{A - B}} i$ ( $β \neq 0$ )

$β > 0$ 交右支

$β < 0$ 交左支

2. $α = 1 + \sqrt{\frac{A + B}{A - B}} i$ ( $β \neq 0$ )

$β > 0$ 交左支

$β < 0$ 交右支

3. $z + \bar{z} = \pm \sqrt{2 (A + B)}$

4. $(A + B) α + 2 β^{2} - 2 B = 0$

6. 点在双曲线上的切线方程问题

$P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 在 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上，则过 $P_{0}$ 的双曲线切线方程是

$\frac{x_{0} x}{a^{2}} - \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ 。

$z_{0} = x_{0} + i y_{0}$ 在 $A (z^{2} + {\bar{z}}^{2}) - 2 B z \bar{z} = A^{2} - B^{2} (A = a^{2} + b^{2}, B = a^{2} - b^{2})$ 上，则过 $z_{0}$ 的双曲线切线方程是

$(A z_{0} - B \bar{z_{0}}) z + (A \bar{z_{0}} - B z_{0}) \bar{z} = A^{2} - B^{2}$ 。

7. 点在双曲线外的切点弦方程问题

$P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 在 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 外，则过 $P_{0}$ 的双曲线的两条切线，切点为 $P_{1}, P_{2}$ ，则切点弦 $P_{1} P_{2}$ 直线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} - \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ 。

$z_{0} = x_{0} + i y_{0}$ 在 $A (z^{2} + {\bar{z}}^{2}) - 2 B z \bar{z} = A^{2} - B^{2} (A = a^{2} + b^{2}, B = a^{2} - b^{2})$ 外，则过 $z_{0}$ 的双曲线的两条切线，切点为 $z_{1}, z_{2}$ ，则切点弦 $z_{1} z_{2}$ 直线方程为

$(A z_{0} - B \bar{z_{0}}) z + (A \bar{z_{0}} - B z_{0}) \bar{z} = A^{2} - B^{2}$ 。

8. 点在双曲线内的弦长中点问题

$P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 在 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 内，则过 $P_{0}$ 的双曲线的弦中点轨迹方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{x_{0} x}{a^{2}} - \frac{y_{0} y}{b^{2}}$ 。

$z_{0} = x_{0} + i y_{0}$ 在则过 $z_{0}$ 的双曲线的弦中点轨迹方程为

$(A z_{0} - B \bar{z_{0}}) z + (A \bar{z_{0}} - B z_{0}) \bar{z} = 2 A (z^{2} + {\bar{z}}^{2}) - 4 B z \bar{z}$ 。

三，抛物线

1. 抛物线的方程(以原点为中心)

A. 抛物线的标准方程为 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ (焦点在x轴正半轴上)

B. 抛物线的标准方程为 $y^{2} = - 2 p x (p > 0)$ (焦点在x轴负半轴上)

C. 抛物线的标准方程为 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ (焦点在y轴正半轴上)

D. 抛物线的标准方程为 $x^{2} = - 2 p y (p > 0)$ (焦点在y轴负半轴上)

E. 抛物线的方程为 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$

(1) 根据抛物线的几何意义：

A. 设焦点在实轴正半轴上为 $F = \frac{p}{2}$ ，则抛物线的方程为 $| 2 z - p | = (z + \bar{z}) + p$

B. 设焦点在实轴负半轴上为 $F = - \frac{p}{2}$ ，则抛物线的方程为 $| 2 z + p | = p - (z + \bar{z})$

C. 设焦点在虚轴正半轴上为 $F = i \frac{p}{2}$ ，则抛物线的方程为 $| 2 z - i p | = i (z - \bar{z} + p)$

D. 设焦点在虚轴负半轴上为 $F = - i \frac{p}{2}$ ，则抛物线的方程为 $| 2 z + i p | = i (p - (z - \bar{z}))$

(2) 根据抛物线的标准方程：

A. ${(z - \bar{z})}^{2} + 4 p (z + \bar{z}) = 0 (p > 0)$ (焦点在实轴正半轴上)

B. ${(z - \bar{z})}^{2} - 4 p (z + \bar{z}) = 0 (p > 0)$ (焦点在实轴负半轴上)

C. ${(z + \bar{z})}^{2} + 4 p (z - \bar{z}) i = 0 (p > 0)$ (焦点在虚轴正半轴上)

D. ${(z + \bar{z})}^{2} - 4 p (z - \bar{z}) i = 0 (p > 0)$ (焦点在虚轴负半轴上)

E. 抛物线方程为： $a {(z + \bar{z})}^{2} + 4 (b + i) z + 4 (b - i) \bar{z} + 4 c = 0 (a \neq 0)$

2. 点与抛物线的位置关系

设点 $p (x_{0}, y_{0})$ ，抛物线为： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$

(1) 点在抛物线内 $\Leftrightarrow y_{0}^{2} < 2 p x_{0} (p > 0)$ ；

(2) 点在抛物线上 $\Leftrightarrow y_{0}^{2} = 2 p x_{0} (p > 0)$ ；

(3) 点在抛物线外 $\Leftrightarrow y_{0}^{2} > 2 p x_{0} (p > 0)$ 。

设点 $z_{0} = x_{0} + i y_{0}$ ，抛物线为： ${(z - \bar{z})}^{2} + 4 p (z + \bar{z}) = 0 (p > 0)$

(1) 点在抛物线内 $\Leftrightarrow {(z_{0} - \bar{z_{0}})}^{2} + 4 p (z_{0} + \bar{z_{0}}) > 0 (p > 0)$ ；

(2) 点在抛物线上 $\Leftrightarrow {(z_{0} - \bar{z_{0}})}^{2} + 4 p (z_{0} + \bar{z_{0}}) = 0 (p > 0)$ ；

(3) 点在抛物线外 $\Leftrightarrow {(z_{0} - \bar{z_{0}})}^{2} + 4 p (z_{0} + \bar{z_{0}}) < 0 (p > 0)$ 。

3. 直线与抛物线的位置关系

设直线为： $y = k x + m$ 抛物线为： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$

1) 当 $k = 0$ 时，直线与抛物线相交，有一个交点。

2) 当 $k \neq 0$ 时，分为以下三种情况：

(1) 直线与抛物线相交(两个交点) $\Leftrightarrow p - 2 k m > 0$ ；

(2) 直线与抛物线相切(一个交点) $\Leftrightarrow p - 2 k m = 0$ ；

(3) 直线与抛物线相离(无交点) $\Leftrightarrow p - 2 k m < 0$ 。

设直线为： $α z - \bar{α} \bar{z} - 2 β = 0 (α = 1 - k i, β = m i)$ 抛物线为： ${(z - \bar{z})}^{2} + 4 p (z + \bar{z}) = 0$

1) 当 $α = 1$ 时，直线与抛物线相交，有一个交点。

2) 当 $α \neq 1$ 时，分为以下三种情况：

(1) 直线与抛物线相交(两个交点) $\Leftrightarrow p + 2 β (1 - α) > 0$ ；

(2) 直线与抛物线相切(一个交点) $\Leftrightarrow p + 2 β (1 - α) = 0$ ；

(3) 直线与抛物线相离(无交点) $\Leftrightarrow p + 2 β (1 - α) < 0$ 。

4. 直线与抛物线相交弦长

设直线 $y = k x + m$ 与抛物线的交点为 $P_{1} = (x_{1}, y_{1}), P_{2} = (x_{2}, y_{2})$ 两点，则弦长为

$| P_{1} P_{2} | = | x_{1} - x_{2} | \sqrt{1 + k^{2}} = | y_{1} - y_{2} | \sqrt{1 + \frac{1}{k^{2}}}$ 。

设直线 $α z - \bar{α} \bar{z} - 2 β = 0 (α = i - k i, β = m i)$ 与抛物线的交点为

$z_{1} = x_{1} + i y_{1}, z_{2} = x_{2} + i y_{2}$ 两点，则弦长 $| z_{1} z_{2} | = | α | | \frac{(z_{1} - z_{2}) + \bar{z_{1} - z_{2}}}{2} |$ 。

5. 中点弦斜率公式

AB是弦，中点为 $P (x_{0}, y_{0})$ ，则中点弦的斜率为 $k_{A B} = \frac{p}{y_{0}}$ 。

中点弦 AB是弦，中点为 $z_{0} = x_{0} + i y_{0}$

$k_{A B} = \frac{2 p i}{z_{0} - \bar{z_{0}}}$ 。

6. 切线方程

设抛物线为 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$

则过抛物线上一点 $A (x_{0}, y_{0})$ 的切线方程为 $y_{0} y = p (x + x_{0})$ 。

设抛物线为 ${(z - \bar{z})}^{2} + 4 p (z + \bar{z}) = 0$

则过抛物线上一点 $z_{0} = x_{0} + i y_{0}$ 的切线方程为 $(z - \bar{z}) (z_{0} - \bar{z_{0}}) + 2 p (z + \bar{z} + z_{0} + \bar{z_{0}}) = 0$ 。