平面直角坐标系

复平面

1. 三点共线(一)

$\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right),\left(x_3,y_3\right)$ 三点共线 $\iff \left|\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\\ y_1& y_2& y_3\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=0$

$z_1=x_1+i{y}_1,z_2=x_2+i{y}_2,z_3=x_3+i{y}_3$ 三点共线 $\iff \left|\begin{array}{ccc}{z}_1& z_2& z_3\\ \overline{z_1}& \overline{z_2}& \overline{z_3}\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=0$

2. 三点共线(二)

三点 $A,B,C$ 共线的充分必要条件是存在不全为零的实数 $\lambda ,\mu ,\gamma$ 使得 $\lambda OA+\mu OB+\gamma OC=0\left(\lambda +\mu +\gamma =0\right)$

(其中O为任取的一点)

三点 $z_1,z_2,z_3$ 共线的充分必要条件是存在不全为零的实数 $\lambda ,\mu ,\gamma$ 使得 $\lambda z_1+\mu z_2+\gamma z_3=0\left(\lambda +\mu +\gamma =0\right)$

3. 点在已知两点的直线上的充分必要条件

点M在直线AB上的充要条件是存在实数 $\lambda ,\mu$ ， 使得 $OM=\lambda OA+\mu OB\left(\lambda +\mu =1\right)$

点z在直线 $z_1{z}_2$ 上的充要条件是存在实数 $\lambda ,\mu$ ， 使得 $z=\lambda z_1+\mu z_2\left(\lambda +\mu =1\right)$