苏教版

人教A版

北师大版

方法一：

要证： $\sqrt{ab}$ ≤ $\frac{a+b}{2}$

只要证： $2\sqrt{ab}\le a+b$ ，

只要证： $2\sqrt{ab}-a-b\le 0$ ，

只要证： $-{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2\le 0$ ，

只要证： ${\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2\ge 0$ ，

显然成立，得证。

方法二：

对正数a、b，有

$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}=\frac{{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2}{2}$ 得证。

方法三：

对于正数a、b，

有， ${\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2\ge 0$ ，

有， $a+b-2\sqrt{ab}\ge 0$ ，

有， $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ ，

有 $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ 得证。

要证： $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$

只要证： $2\sqrt{ab}\le a+b$ ，

只要证： $2\sqrt{ab}-a-b\le 0$ ，

只要证： $-{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2\le 0$ ，

只要证： ${\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2\ge 0$ ，

显然成立，得证。

对于任意实数x和y， ${\left(x-y\right)}^2\ge 0$ 总是成立，

即 $x^2-2xy+y^2\ge 0$ ，

所以 $\frac{x^2+y^2}{2}\ge xy$ ，

当且仅当 ${\left(x-y\right)}^2=0$ 时等号成立，

设 $a\ge 0$ ， $b\ge 0$ ，

取 $x=\sqrt{a}$ ， $y=\sqrt{b}$ ，

代入上述不等式可得，

$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ ，

当且仅当 $a=b$ 时等号成立。