Polanco [23]

$\stackrel{\ast }{{\sigma }_{ep}}=B{\left[P^{\ast }+T^{\ast }\left(1-D\right)\right]}^{N}F\left({\dot{\epsilon }}_{ep}^{\ast }\right)R\left(\theta ,e\right)\le S_{\max }$

D是损伤参数， $P^{\ast }=P/f_c$ 是归一化压力， ${\dot{\epsilon }}^{*}={\dot{\epsilon }}_0/\dot{\epsilon }$ 表示是无量纲应变率，A为特征化黏聚强度；B为特征化压力硬度系数；N为特征化压力硬度指数； $S_{\max }$ 特征化等效强度所能达到的最大应力； $T^{\ast }$ 最大特征化等效拉应力； $F\left({\dot{\epsilon }}_{ep}^{\ast }\right)$ 和 $R\left(\theta ,e\right)$ 为引入的新参数。详见文献 [23]

刘海峰 [24]

$\begin{array}{l}{\dot{\epsilon }}_{ij}=\frac{1}{E\left(1-D\right)}\left[\left(1+\nu \right){\dot{\sigma }}_{ij}-v{\dot{\sigma }}_{kk}{\delta }_{ij}\right]+\frac{\dot{D}}{E{\left(1-D\right)}^2}\\ \times \left[\left(1+\nu \right){\dot{\sigma }}_{ij}-v{\dot{\sigma }}_{kk}{\delta }_{ij}\right]+\gamma {\langle \frac{F_1}{m_p}\rangle }^{n_p}\frac{\partial F_1}{\partial {\sigma }_{ij}}\end{array}$

$\nu$ 为泊松比，E为弹性模量； $\gamma$ 为流变系数，F为屈服函数；D为损伤变量；函数 ${\sigma }_{ij}$ 是Kronecker delta 函数； $m_p,n_p$ 为材料参数；详见文献 [24]

宁建国 [25]

${\sigma }_d={\sigma }_s\left[C_0+C_1\log {\dot{\overline{\epsilon }}}_p^{\ast }+C_2{\left(\log {\dot{\overline{\epsilon }}}_p^{\ast }\right)}^2\right]$

${\sigma }_s$ 为准静态下的应力强度； ${\dot{\overline{\epsilon }}}_p^{\ast }$ 为无量纲化的等效塑性应变率； $C_0,C_1$ 和 $C_2$ 为应变率敏感系数

Zhen [27]

$\begin{array}{l}{Y}_{residual}=\{\begin{array}{l}B\times {\left(p^{\ast }\right)}^M\times r_3\left(\theta \right)p\ge 0\\ 0p<0\end{array}\\ \psi \left(p\right)=\{\begin{array}{l}1/2p\le 0\\ 1/2+3f_t/2f_{c}p=f_c/3\\ \alpha f_c/\left[a_0+\left(2\alpha f_c/3\right)/\left(a_1+\left(2{\alpha }_2\alpha f_c/3\right)\right)\right]p=2\alpha f_c/3\\ 0.753p=3f_c\\ 1.0p=8.453f_c\end{array}\end{array}$

B为残余强度； $r_3\left(\theta \right)$ 为标量函数； $p^{\ast }$ 为等效强度；M为失效指数； $f_t,f_c$ 准静态抗拉和抗压强度； $a_0,a_1,a_2$ 是三个独立的参数；