文献来源

模型的重要表达式

参数释义

郑永来 [35]

$\begin{array}{l}\sigma \left(\epsilon \right)=\left[{\left(\frac{\epsilon }{{\epsilon }_0}\right)}^m+1\right]\exp \left[-{\left(\frac{\epsilon }{{\epsilon }_0}\right)}^m\right]\left[E_0\epsilon +\dot{\epsilon }{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\eta }_i}\frac{E_0{\alpha }_1}{n\cdot {10}^{i-4}}\right]\\ \times \left(1-{\text{e}}^{-{10}^{i-4}}\frac{\epsilon }{\dot{\epsilon }}\right)+\dot{\epsilon }\frac{E_0{\alpha }_2}{{10}^5}\left(1-{\text{e}}^{-{10}^5}\frac{\epsilon }{\dot{\epsilon }}\right)\end{array}$

${\epsilon }_0,m$ 是与试样材料性质和形状有关的参数； $\eta$ 为黏性系数；n取决于应变率敏感范围率: ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 为强度增强百分比； $E_0$ 为初始弹性模量；

陈江瑛 [36]

$\begin{array}{l}\sigma =\left(1-D\right)[E_0\epsilon +\alpha {\epsilon }^2+\beta {\epsilon }^3+E_1{\displaystyle {\int }_0^t\dot{\epsilon }}\exp \left(-\frac{t-\tau }{{\varphi }_1}\right)\text{d}\tau \\ +E_2{\displaystyle {\int }_0^t\dot{\epsilon }}\exp \left(-\frac{t-\tau }{{\varphi }_2}\right)\text{d}\tau ]\end{array}$

$E_0,\alpha ,\beta$ 为非线性弹簧的弹性系数； $E_1,E_2$ 表示不同松弛时间低频和高频的弹性模量； $\varphi$ 表示松弛时间； $\dot{\epsilon }$ 表示平均应变率；D为损伤变量；

胡时胜 [37]

$\begin{array}{l}{\sigma }_a=\left(1-D\right)\left[E_0\epsilon +E_1{\displaystyle {\int }_0^t\dot{\epsilon }}\exp \left(-\frac{t-\tau }{{\varphi }_1}\right)\text{d}\tau +E_2{\displaystyle {\int }_0^t\dot{\epsilon }}\exp \left(-\frac{t-\tau }{{\varphi }_2}\right)\text{d}\tau \right]\\ D=D_0{\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_0}\right)}^a{\epsilon }^b\end{array}$

${\sigma }_a$ 为表观应力； $E_0$ 为非线性弹簧的弹性系数； $E_1,E_2$ 表示不同松弛时间低频和高频的弹性模量； $\varphi$ 表示松弛时间； $\dot{\epsilon }$ 表示平均应变率；D为损伤变量； $D_0,a,b$ 为待定参数，由实验数据拟合；

商霖 [38]

${\sigma }_d=\left(1-D\right)E_0{\displaystyle {\int }_0^t\dot{\epsilon }}\left(\tau \right)\exp \left(-\frac{t-\tau }{\theta }\right)\text{d}\tau$

${\sigma }_d$ 为表观应力； $\theta$ 表示松弛时间；D为损伤变量；

单仁亮 [39]

$\begin{array}{l}\sigma =\left(1-D\right)\left[E_0\epsilon +E_1{\displaystyle {\int }_0^t\dot{\epsilon }}\exp \left(-\frac{t-\tau }{{\varphi }_1}\right)\text{d}\tau +E_2{\displaystyle {\int }_0^t\dot{\epsilon }}\exp \left(-\frac{t-\tau }{{\varphi }_2}\right)\text{d}\tau \right]\\ D=\frac{E_b-E\left({\epsilon }_i\right)}{E_b}\end{array}$

$E_0$ 为非线性弹簧的弹性系数； $E_1,E_2$ 表示不同松弛时间低频和高频的弹性模量； $\varphi$ 表示松弛时间； $\dot{\epsilon }$ 表示平均应变率；D为损伤变量； $E_b$ 为曲线的初始弹性模量， $E\left({\epsilon }_i\right)$ 为曲线上任意一点与原点的割线模量；

宁健国 [40]

$\sigma =\left(1-D\right)\left[E_L^e\epsilon +E_L^2{\theta }_2\dot{\epsilon }\left(1-\exp \left(-\frac{\epsilon }{{\theta }_2\dot{\epsilon }}\right)\right)\right]$

$E_L$ 为侧限弹性模量； $\theta$ 为松弛时间； $\dot{\epsilon }$ 为应变率；D为损伤变量；

翟越 [42]

$\sigma =\{\begin{array}{l}\left(E_0+E_2\right)\epsilon +\eta \left(\frac{E_1+E_0+E_2}{E_1}\right)\dot{\epsilon }-\frac{\eta \dot{\sigma }}{E_1}\left(\sigma <{\sigma }_s\right)\\ w{E}_0\epsilon +\eta \left\{1+\frac{w{E}_0\left[a-m\epsilon {\left(\epsilon -{\epsilon }_s\right)}^{m-1}\right]}{a{E}_1}\right\}-\frac{\eta \dot{\sigma }}{E_1}+{\sigma }_s\left(\sigma \ge {\sigma }_s\right)\end{array}$

${\sigma }_s$ 为岩石类材料发生损伤时的应力门槛值； $E_0$ 为损伤元件的初始弹性模量； $\eta$ 为黏滞系数； $E_1$ 为马克斯威尔体的初始弹性模量； $E_2$ 为圣维南体的初始弹性模量；w为Weibull 分布函数； ${\epsilon }_0,m$ 是Weibull 分布参数； $\dot{\sigma }$ 和 $\dot{\epsilon }$ 分别为应力率与应变率；

谢理想 [43]

$\begin{array}{l}\sigma \left(t\right)=E_0\epsilon \exp \left[-{\left(\frac{\epsilon }{{\alpha }_0}\right)}^{m_0}\right]+E_1\dot{\epsilon }{\phi }_1\left\{1-\exp \left\{-\frac{\epsilon }{\dot{\epsilon }{\phi }_1}\exp \left[-{\left(\frac{\epsilon }{{\alpha }_1}\right)}^{m_1}\right]\right\}\right\}\\ +E_2\dot{\epsilon }{\phi }_2\left\{1-\exp \left\{-\frac{\epsilon }{\dot{\epsilon }{\phi }_2}\exp \left[-{\left(\frac{\epsilon }{{\alpha }_2}\right)}^{m_2}\right]\right\}\right\}\end{array}$

$m_0,m_1,m_2$ 为3个损伤体weibull的分布参数； ${\alpha }_0,{\alpha }_1,{\alpha }_2$ 分别为与weibull分布参数 $F_0,F_1,F_2$ 相对的常数； $\phi$ 表示松弛时间； $E_0$ 为非线性弹簧的弹性系数； $E_1,E_2$ 表示不同松弛时间低频和高频的弹性模量；