| 教学环节 | 教学内容 | 教学设计 | 思政元素 |
| 1、引入 | 回顾线性空间上的运算及空间的结构理论 | 温故知新，承上启下，开宗明义，激发兴趣：线性空间中利用加法、数乘刻画维数、基等空间结构；那么如何刻画向量长度、夹角等几何度量？ | 设问方式激发思考、提升兴趣。 |
| 2、内积及欧氏空间概念 | 欧氏空间生平及数学成就 | l 课前已在课程平台发送 介绍欧几里得生平及成就的小视频；简介欧几里得及其名著《几何原本》。介绍拉斐尔的不朽名作——《雅典学院》的内容，其中表现哲学、数学、文学的人物及小趣闻；简介《几何原本》封面图《手绘手》及其作者埃舍尔的其他数学画作； l 介绍更早期中国数学的伟大贡献 ——墨子与《墨经》中的几何成就(见图1)； | l 通过小视频了解欧几里 得的卓越贡献，激发同学们献身科学、不断创新的热情； l 带领学生欣赏《雅典学 院》中3位伟大数学家(欧几里得、毕达哥拉斯和芝诺)的形象，及埃舍尔的数学板画，潜移默化中渗透美学熏陶，提升人文素养； l 介绍墨子及《墨经》中 的数学智慧，培养学生强烈的民族认同感、自豪感和对伟大复兴的使命感。 |
| 3、内积及欧氏空间的概念及常见例子 | l 内积及欧氏空间的定义 l 内积与欧氏空间的几点解释和注记 l 在线性空间 上，给出常见内积的定义形式 | l 启发式教学，通过类比，引导学生对几何空间R3中内积的性质进行总结、归纳、抽象，给出实线性空间中内积的概念，并由此得到内积的双线性等性质。强调内积的抽象性，一般性。 l 设问：在这几个欧氏空间 中还可以如何定义内积？ | l 数学思维培养：从具体运算中提炼、总结出本质性的规律，抽象成统一的概念。强化类比、归纳、演绎的数学思维方法，提升理性思维品质。 l 哲学观点熏陶：领会具体与抽象、特殊到一般的辩证统一。 l 提出问题，引导学主动思考，积极探讨，焕发课堂生机，激发创新意识。 |
| 4、欧氏空间中向量长度、夹角 | l 向量长度的定义及性质； l 柯西–布涅科夫斯基不等式及应用； l 向量夹角、正交； l 欧氏空间中 的勾股定理 | l 类比R3中向量长度的定义，启发学生轻松自然地得出Rn中，以及任意欧氏空间中向量长度的定义： ，并进一步推导得出长度的5个简单性质及向量之间距离的概念。 l 证明柯西不等式并强调它的重要价值，举例给出 中柯西，不等式的具体表达形式，带领学生体会“降维打击”的乐趣(见图2)。 | l 辩证唯物主义哲学观：实例引导学生体会不同内积度量下，同一向量长度不同；所以从不同标准衡量同一人物、事物，会得出不同结论； l 强调柯西不等式的抽象性、一般性，体会该不等式表现出的数学的简洁美感； l 培养辩证思维：渗透抽象与具体，特殊与一般，简单与复杂的对立统一、相互转化的辩证思想。 |
| 5、应用案例 | l 向量夹角在文本分类中的应用 l 法学案例中关于“正交”的小故事 | l 案例教学——引入内积在文本分类中的简单应用(见图3)； l 引入法学教授的小故事，让学生更深刻的理解正交的意义，同时增强课程的趣味性。 | l 理论联系实际，让枯燥抽象的概念融入生活，提升学生实践应用能力； l 趣味小故事培养学生学数学、用数学的信心和兴趣。 |
| 6、欧氏空间中内积的矩阵表示 | 内积的坐标表示、度量矩阵 | l 采取设问式、启发式教学。能否用坐标的运算表示V中抽象的内积呢？ l 带领和启发学生推导内积的坐标表示公式，引出度量矩阵概念及其性质； | l 培养学生严谨的数学逻辑思维和推理能力； l 启发式教学过程，增强学生的参与度和获得感，培养严谨认真的科学态度。 |
| 7、小结 | 回顾课程内容 | 从知识内容、实践应用、数学思想三方面总结课堂主要内容(见图4) | 依托课程内容，综合多种教学方法，从哲学观点、数学思想、价值观塑造三方面进行思政融入，落实“立德树人”。 |